Zadania

1994/95 (4.03.1995)

---

1. 5 stalowych kulek wisi na niciach o jednakowej długości. Po wychyleniu pierwszej odskakuje ostatnia i w końcu wszystkie wahają się razem. Czy:
   1. pęd kulek jest stały ?
   2. energia kinetyczna kulek jest stała ?
   3. w zderzeniu wydziela się ciepło ?
   4. okres wahań jest stały ?
   5. napięcie nici jest stałe ?

2. 2 kondensatory o pojemnościach C₁ i C₂ połączono szeregowo, a następnie dołączono do baterii o sile elektromotorycznej E. Oblicz pracę W wyciągnięcia dielektryka spomiędzy okładek pierwszego kondensatora, jeżeli względna przenikalność elektryczna tego dielektryka wynosi e.
3. 2 gwiazdy o masie M każda poruszają się po wspólnej orbicie o promieniu R i tworzą w ten sposób gwiazdę podwójną. Oblicz pracę W potrzebną do rozsunięcia gwiazd tak, aby ich orbita była dwa razy większa.
   
   Źródło: K 12-21
4. Powietrze o objętości V wypełniające balon ogrzewane jest palnikiem przez otwór w dolnej części powłoki. Gdy temperatura powietrza w balonie osiągnęła wartość T₂, balon oderwał się od Ziemi. Oblicz temperaturę początkową T₁ powietrza, jeżeli powłoka balonu ma masę M, powietrze - ciśnienie p, mol powietrza - masę m.
5. Elektron poruszający się poziomo z prędkością V << C wpada prostopadle do podwójnej, pionowej ściany magnetycznej o grubości 2d. Każda ze ścian ma grubość d i pionowo skierowane pole magnetyczne o indukcji B (jednakowe co do wartości w całej ścianie, ale skierowane do góry w pierwszej, a do dołu w drugiej). Oblicz przesunięcie x toru elektronu po wyjściu z podwójnej ściany (po jej przejściu lub po zawróceniu).

Na początek

1995/96 (2.03.1996)

---

1. Pytania do pokazanego eksperymentu:
   1. Uzasadnij, czy pierścień jest wyrzucany przy włączaniu czy przy wyłączaniu prądu.
   2. Dlaczego w różnych próbach pierścień jest wyrzucany na różne wysokości ?
   3. Dlaczego wyjęcie monety zmienia przebieg eksperymentu ?
   4. Kosztem jakiej energii wyrzucany jest pierścień ?
   5. Dlaczego dołożenie ferromagnetyka zmienia przebieg eksperymentu ?

2. 2 sputniki krążą dookoła Ziemi po okręgach o promieniach 2R i 3R i w chwili początkowej oba znajdują się na jednej prostej ze środkiem Ziemi. Po jakim czasie oba sputniki i środek Ziemi znowu znajdą się na jednej prostej, jeżeli R równe jest promieniowi Ziemi ?
3. Cząstka a i proton poruszają się po tej samej prostej i w tym samym kierunku. W chwili, gdy odległość między cząstkami jest równa r, cząstka a porusza się z prędkością V, a proton z prędkością U. Oblicz, w jakiej odległości x znajdą się te cząstki w chwili, gdy cząstka a zatrzyma się, jeżeli nie zaszła reakcja jądrowa między cząstkami.
4. Naczynie o objętości V zawiera hel pod ciśnieniem p i temperaturze T oraz masę M promieniotwórczego polonu ulegającego rozpadowi a. Oblicz ciśnienie p₁ w naczyniu po całkowitym rozpadzie polonu, jeżeli masa atomu polonu wynosi m, a masa atomu Pb powstającego po rozpadzie m₁ i ciepło właściwe helu przy stałej objętości wynosi C_v, a ołowiu C_b. Załóż ponadto pomijalnie małą pojemność cieplną ścianek naczynia i ich adiabatyczność oraz tak dużą odległość preparatu promieniotwórczego od ścianek naczynia, że żadna cząstka a nie może opuścić naczynia. Masy molowe helu - m_He i polonu - m_Po.
5. Jedna z płytek płaskiego i początkowo nienaładowanego kondensatora próżniowego o pojemności C i powierzchni płytek S oświetlona jest całkowicie światłem o długości fali l i o natężeniu światła I. Praca wyjścia z oświetlonej płytki wynosi W. Po jakim czasie t i do jakiego potencjału U naładuje się ten kondensator, jeżeli każdy foton wybija elektron z oświetlonej płytki, a wybity elektron nie opuszcza kondensatora ?

Na początek

1996/97 (8.03.1997)

---

1. Zadanie doświadczalne. Należy wyjaśnić:
   1. Dlaczego wskaźnik elektroskopu zmniejsza wychylenie, gdy układ jest oświetlany lampą łukową z elektrodami węglowymi (Eksperyment 1).
   2. Dlaczego szybkość zmian wychylenia wskaźnika maleje, gdy lampę odsunie się od układu (Eksperyment 2).
   3. Dlaczego położenie wskaźnika nie zmienia się, gdy między układem i lampą znajduje się szklana płyta (Eksperyment 3).
   4. Dlaczego położenie wskaźnika nie zmienia się pomimo oświetlenia (Eksperyment 4).
   5. Jak można zmodyfikować Eksperyment 4, aby wskaźnik elektroskopu zmniejszał wychylenie ?

2. Przestrzeń kosmiczną otaczającą planetę o masie M₀ i promieniu R wypełnia jednorodnie tzw. ciemna materia, która oddziaływuje grawitacyjnie, ale praktycznie nie stawia oporu ruchu poruszającym się obiektom. Wokół planety krąży satelita po orbicie kołowej o promieniu 3R z I prędkością kosmiczną charakterystyczną dla tej planety. Oblicz gęstość czarnej materii.
3. Między 2 metalowe płyty o wymiarach a*b każda włożono nieprzewodzący prostopadłościan gumowy o wymiarach a*b*d. Jedną z płyt naładowano ładunkiem Q, natomiast drugą ładunkiem -Q. Oblicz energię układu wiedząc, że stała dielektryczna gumy jest równa e, a jej moduł Younga Y. Zaniedbaj wpływ mas płyt.
4. Cylinder zamknięty jest ruchomym tłokiem o powierzchni S, który umocowany jest do dna cylindra sprężyną o stałej k. Wewnątrz układu znajduje się n₀ moli gazu o temperaturze T. W pewnym momencie w cylindrze otwarto zaworek pozwalając wylatywać do atmosfery u molom gazu w jednostce czasu (n₀ >> u*1 s), zachowując temperaturę oraz równowagę termodynamiczną. Wyznacz położenie tłoka w funkcji czasu pamiętając, iż ciśnienie atmosferyczne jest równe p_A. Przyjmij, że sprężyna jest tak krótka, iż jej wydłużenie jest równe odległości tłoka od dna cylindra. Zaniedbaj masę tłoka.
5. Elektrony poruszają się w cyklotronie w polu magnetycznym o indukcji B po orbicie o promieniu R. W pewnej chwili między duantami przyłożono zsynchronizowane, oscylujące napięcie V. Po wykonaniu N obiegów (od momentu włączenia napięcia) przyśpieszoną wiązkę elektronów skierowano na target wytwarzając promieniowanie X. Oblicz minimalną długość fali tego promieniowania.

Na początek

1997/98 (14.03.1998)

---

1. W szczelnie zamkniętym, szklanym pojemniku znajdowała się na dnie niewielka ilość wody. Układ woda-powietrze był w stanie równowagi termodynamicznej. Następnie po doprowadzeniu suchego powietrza z kompresora ciśnienie w pojemniku wzrosło. Po zamknięciu zaworu odłączono przewód doprowadzający sprężone powietrze i odczekano kilka minut, by układ woda-powietrze w pojemniku znalazł się ponownie w stanie równowagi.
   1. Wyjaśnij, czy po doprowadzeniu do pojemnika suchego powietrza, w trakcie ustalania się równowagi termodynamicznej, objętość wody na dnie była stała, czy ulegała zmianie ?

    
   Następnie otwarto zawór.

   2. Czy po otwarciu zaworu, w trakcie rozprężania, temperatura powietrza pozostałego w pojemniku ulegała zmianie ? Odpowiedź uzasadnij korzystając z praw termodynamiki.
   3. Wyjaśnij, dlaczego promień światła przecinający szklany pojemnik staje się wyraźnie widoczny po otwarciu zaworu ?

2. Do sprężyny o stałej sprężystości k przymocowano klocek o masie m. Drugi koniec sprężyny przytwierdzono do ściany. Następnie klocek odciągnięto od położenia równowagi na odległość A₀ i puszczono swobodnie. Ile razy w ciągu całego ruchu klocek będzie przechodził przez położenie równowagi (sprężyna nienaprężona) ? Dane są współczynniki tarcia kinetycznego m i statycznego m_s= b*m (1 < b < 2) klocka o podłoże. Masę sprężyny powinieneś zaniedbać.
   
3. Wilgotne powietrze unosi się adiabatycznie do góry. Przy powierzchni Ziemi ciśnienie wynosi p₀ = 100 kPa, temperatura t₀ = 20°C. Gdy powietrze unosi się ku górze, przy ciśnieniu 80 kPa zaczynają tworzyć się chmury. Na jakiej wysokości nad Ziemią znajduje się podstawa chmur (powinieneś przyjąć, że gęstość powietrza maleje liniowo z wysokością) ? Wykładnik adiabaty dla powietrza k = 1,4; masa molowa powietrza m = 29 g/mol.
4. Rysunek przedstawia schemat obwodu elektrycznego. Zmiana wartości oporu R₂ w tym układzie nie wywołuje zmiany wskazań amperomierza. Jaki warunek muszą spełniać parametry elementów obwodu, aby było to możliwe?
   
5. 2 identyczne głośniki oddalone od siebie o 10 m podłączone są do jednego generatora dającego sygnał o częstości u = 21,5 Hz. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 343 m/s.
   1. Wytłumacz, dlaczego odbiornik znajdujący się w punkcie A (patrz rysunek) zarejestruje minimum natężenia dźwięku docierającego z obu głośników.
   2. Po jakim torze należy przemieszczać odbiornik w płaszczyźnie xy tak, aby nadal rejestrował on minimum natężenia dźwięku (znajdź zależność pomiędzy współrzędnymi x i y odbiornika, dla których rejestruje minimum natężenia dźwięku) ?
   

Na początek

1998/99 (13.03.1999)

---

1. W obwodzie przedstawionym na rysunku do źródła prądu zmiennego podłączono szeregowo kondensator i cewkę o regulowanej indukcyjności (początkowo nie ma żarówki). Znajdują się w nim również trzy woltomierze prądu zmiennego.
   1. Dlaczego suma napięć skutecznych na kondensatorze V_C i cewce V_L w tym obwodzie nie jest równa napięciu skutecznemu na źródle prądu e ?
   2. Następnie do obwodu włączono żarówkę (tak, jak na rysunku). Dlaczego tylko dla pewnej określonej wartości indukcyjności (gdy V_C = V_L) żarówka świeci jasno, a dla innych wartości nie świeci (lub ewentualnie świeci mniej intensywnie) ?

    
   Przyjmij, że zakłócenia spowodowane przewodami doprowadzającymi, jak i niedoskonałością woltomierzy, są pomijalne.
   

   
2. Ciężarek zawieszony na nici nie będzie wskazywał dokładnie kierunku przyciągania ziemskiego, lecz odchyla się nieco od tego kierunku. Dla jakich szerokości geograficznych, tj. dla jakich wartości kąta a to odchylenie (różnica b - a) ma wartość maksymalną, a dla jakich minimalną ? Przyjmij, że Ziemia jest jednorodną kulą. Pomocne mogą być następujące wzory i przybliżenia:

   
   tg(x) - tg(y) = sin(x - y)/(cos(x) cos(y));
   
   sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
   
   dla |x| << 1    sin(x) @ x     i    1/(1 - x) @ 1 + x

   Uwaga: Na rysunku odchylenie i rozmiary ciężarka zawieszonego na nici zostały (w celu wprowadzenia przejrzystych oznaczeń) znacznie powiększone.
   

   
3. W układzie przedstawionym na rysunku masy m₁ i m₂ znajdują się w chwili początkowej w spoczynku, a sprężyna o stałej sprężystości k jest nienaprężona. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tarcia mmiędzy masą m₁ i podłożem, aby masa m₂ po osiągnięciu najniższego położenia nie rozpoczęła ruchu powrotnego do góry ? Przyjmij, że współczynnik tarcia kinetycznego nie różni się do współczynnika tarcia statycznego. Pomiń masę sprężyny i tarcie pomiędzy nicią i bloczkiem.
   
4. W temperaturze T i przy ciśnieniu p gęstości powietrza, czystego tlenu i czystego azotu wynoszą odpowiednio: , , . Zakładając, że obecne są tylko te dwa gazy, oblicz procentową zawartość azotu w powietrzu.
5. Dwa ogniwa i trzy kondensatory połączono tak jak na rysunku. Znajdź napięcie na każdym z kondensatorów.
   

Na początek

Rozwiązania i odpowiedzi

1994/95

---

3. W = 2R⁵(2p/T)⁴/G

Na początek

1997/98

---

1. wskazówki:
   
   1. Ilość wody nie ulega zmianie (ciśnienie pary nasyconej nie zależy od ciśnienia pozostałych składników powietrza).

      DU = Q - W	I zasada termodynamiki
      Q = 0	Przemiana adiabatyczna (krótki czas)
      W > 0	Wykonywana jest praca nad powietrzem atmosferycznym
      DU < 0	Temperatura maleje

   2. Zachodzą dwa procesy:

      Dt < 0	Patrz punkt b
      Dp < 0	Dla pary nasyconej

       
      Proces 1 przeważa nad procesem 2, stąd para wodna osiąga stan przesycenia i następuje skraplanie. Wiązka światła jest rozpraszana na kroplach wody.

2. kA²_n-1/2 - kA²_n/2 = mgm(A_n-1 + A_n)
   
   A²_n-1 - A²_n= a(A_n-1 + A_n)
   
   a = 2mgm/k

   Kolejne maksymalne wychylenia klocka z położenia równowagi różnią się o stałą wartość:
   
   A_n-1 - A_n = a

   Aby klocek rozpoczynający ruch z odległości A_n-1 od położenia równowagi znalazł się po drugiej stronie położenia równowagi potrzeba, by A_n > 0. Z tego wynika, że A_n-1 > a.

   Jeśli bowiem A_n-1 < a, to możliwe są dwa przypadki:

   1. klocek nie pokona tarcia statycznego
   2. może rozpocząć ruch, ale zatrzyma się przed osiągnięciem położenia równowagi

    
   A_n > 0 => A_n-1 > a

   Ostatni warunek obejmuje:

   1. przejście przez położenie równowagi
   2. pokonanie tarcia statycznego (b< 2)

    
   A₀ - (n - 1)a > a
   
   n = [A₀/a]

3. wzory:

   pV = mRT/m	r = pm/RT
   pVk= p0V0k	p0 - p = gh
   = (r0+r)/2

   Z 1 i 3 wynika, że (p/p₀)^{(1 - k) / k} =T₀/T
   
   Z 2 i 5 wynika, że =m(p₀ + p (p/p₀)^{(1 - k) / k})/2RT₀ = 1,1 kg/m³
   
   h = (p₀-p)/g = 1900 m

4. Można np. zastosować prawa Kirchoffa dla obu oczek:

   1. e₂ - i₂R₂ - (i₁+i₂)R - i₂r₂ = 0
   2. e₁ - (i₁+i₂)R - i₁r₁ = 0

    
   Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy:

   i₂ = (e₂(R+r₁) - e₁R)/(R₂R + Rr₂ + R₂r₁ + Rr₁ + r₂r₁)

   Aby przez opornik R₂ nie płynął prąd, i₂ = 0

   Podstawiając do wzoru na i₂ i przekształcając dostajemy, że e₂ = e₁R/(R+r₁)

   Należy też pamiętać, że r₂ >> R i r₂ >> r₁

5.  
   
   1. l = V/f = 16 m
      
      Dr = l/2 = 8 m

       
      Różnica dróg do punktu A z obu głośników wynosi 8 m. Jest to akurat połowa długości fali dźwiękowej i warunek na minimum interferencyjne.

   2. r₁ - r₂ = l/2

      
      -= 8
      
      9x² - 16y² = 144

Na początek

1998/99

---

1. 1. ˝V_L - V_C˝= e
   2. Gdy V_L = V_C zawada ma wartość minimalną, a prąd osiąga maksimum.
2. 
   
   mg / sin (180° - b) = mw²R_zcos a/ sin (b - a)
   
   b - a @ (w²R_Z cos a sin b)/g @ (w²R_Zsin 2a) / (2g)
   
   max (b - a) Ţa = 45°
   
   min (b - a) Ţa = 0° Ú a = 90°
3. 0,5kx² + mm₁gx = m₂gx
   
   kx Ł m₂g + mm₁g
   Ţ m ł m₂/(3m₁)
4. += Ţ =
5. Z układu trzech równań:

    
   

   1. e₁ = V₃ + V₂
   2. e₂ = V₂ - V₃
   3. V₁C₁ = V₂C₂ + V₃C₃

    
   wynika, że:

   V₁ = [(e₁ + e₂)C₂ + e₁C₃]/(C₁ + C₂ + C₃)
   
   V₂ = [(e₁ + e₂)C₁ + e₂C₃]/(C₁ + C₂ + C₃)
   
   V₃ = (e₁C₁ - e₂C₂)/(C₁ + C₂ + C₃)

Na początek